Wo liegt der wahre Wert — und wie weit liegt eine Messung daneben?
Eine Messreihe, ein Zahlenstrahl. Schieb den Schätzwert, bis sich die Abweichungen aufheben — das ist der Mittelwert \bar{x}. Dann sieh, wie aus den Quadraten der Abweichungen die Standardabweichung \sigma wird. Das Applet rechnet genauso wie das Rechenschema auf dem Arbeitsblatt und wie \sigma_x am Taschenrechner.
Schritt 1Der Mittelwert: Wo heben sich die Abweichungen auf?
Jeder Pfeil ist eine Abweichung \textcolor{f1}{x_i - \text{Schätzwert}}: nach rechts positiv, nach links negativ. Du kannst den Schätzwert auch direkt im Bild ziehen.
Schritt 2Die Standardabweichung: Wie groß ist eine typische Abweichung?
Jede Abweichung vom Mittelwert wird zum Quadrat (Fläche in m²). Das gestrichelte Quadrat ist das Mittel dieser Flächen; seine Seitenlänge ist \sigma.
Schritt 3Das Histogramm: Wie verteilen sich die Messwerte?
Jeder Balken zählt die Messwerte in einer Klasse; eine Klasse ist ein Skalenschritt breit, hier –. Die Zahl über dem Balken ist die Anzahl. Die grüne Linie ist \bar{x}, der blaue Bereich \bar{x} \pm \sigma. Bei der zufälligen Messreihe: Mehr Messungen füllen die Form, breiter wird sie nicht.
| Anzahl Messwerte n | – |
| Summe aller Werte \sum x | – |
| Mittelwert \bar{x} = \frac{\sum x}{n} | – |
| Summe der Abweichungen \sum (x_i - \bar{x}) | – |
| Summe der Quadrate \sum (x_i - \bar{x})^2 | – |
| mittleres Quadrat \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} | – |
| Standardabweichung \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}} | – |
| Messergebnis (\bar{x} \pm \sigma), \sigma auf zwei geltende Ziffern | – |
- \textcolor{f1}{x_i - \bar{x}} — die Abweichung: der Pfeil vom Mittelwert zum Messwert (Schritt 1). Die Summe aller Pfeile ist null — deshalb taugt sie nicht als Fehlermaß.
- \textcolor{f2}{(\dots)^2} — das Quadrat: aus jedem Pfeil wird eine Fläche (Schritt 2). Alle Flächen sind positiv, große Abweichungen zählen stärker.
- \textcolor{f3}{\dots / n} — der Bruchstrich, geteilt durch n: bei \bar{x} das Mittel der Werte, bei \sigma das Mittel der Flächen — das gestrichelte „mittlere Quadrat" in m².
- \textcolor{f4}{\sqrt{\phantom{xx}}} — die Wurzel: die Seitenlänge des mittleren Quadrats. Sie hat wieder die Einheit m und ist die typische Abweichung einer Messung: \sigma.
- Messreihe „ein Wurf, viermal gemessen". Schieb den Schätzwert langsam von links nach rechts. Bei welchem Wert ist die Summe der Abweichungen null? Gib die vier Werte in den Taschenrechner ein (Anleitung) und vergleiche mit \bar{x}.
- Stell den Schätzwert genau auf den Mittelwert. Die Pfeile zeigen nach rechts und nach links, ihre Summe ist null. Warum kann man an dieser Summe nicht ablesen, wie stark die Werte streuen? Ein Satz.
- Schritt 2: Welche Einheit steht am mittleren Quadrat, welche an \sigma? Wozu also die Wurzel?
- Messreihe „zufällig", Streuung 0,050 m, wahren Wert zeigen. Klick fünfmal „Neu messen" mit n = 3, dann fünfmal mit n = 30. Was passiert mit dem Abstand zwischen \bar{x} und dem wahren Wert? Was passiert mit \sigma? Zwei Sätze.