Extrempunkte: von f zu f′ und f″
Wählen Sie eine Funktion und ziehen Sie den Punkt auf der x-Achse. Erst selbst skizzieren, dann f′ und f″ einblenden. Der Rechenweg unten kommt Schritt für Schritt.
f
f′
f″
| f(x0) | Funktionswert, Höhe des Punktes | — |
| f′(x0) | Steigung der Tangente | — |
| f″(x0) | Steigung von f′ | — |
Rechenweg · Extrempunkte in vier Schritten
Merksatz und Aufgaben für zu Hause
Merke
Notwendig: An jedem Extrempunkt gilt f′(x0) = 0.
Aber nicht jede Stelle mit f′(x0) = 0 ist ein Extrempunkt
(x3 bei 0).
Hinreichend: f′(x0) = 0 und f″(x0) < 0 ⇒ Hochpunkt; f′(x0) = 0 und f″(x0) > 0 ⇒ Tiefpunkt. Gleichwertig: f′ wechselt bei x0 das Vorzeichen.
f″(x0) = 0 heißt „keine Aussage“, nicht „kein Extrempunkt“ — dann Vorzeichen von f′ links und rechts prüfen.
Hinreichend: f′(x0) = 0 und f″(x0) < 0 ⇒ Hochpunkt; f′(x0) = 0 und f″(x0) > 0 ⇒ Tiefpunkt. Gleichwertig: f′ wechselt bei x0 das Vorzeichen.
f″(x0) = 0 heißt „keine Aussage“, nicht „kein Extrempunkt“ — dann Vorzeichen von f′ links und rechts prüfen.
- Funktion 2, f′ und f″ ausgeblendet: Schieben Sie x0 von links nach rechts. Wo ist die Steigung null, wo negativ? Erst dann f′ einblenden und vergleichen.
- Funktion 3: f′(0) = 0 — aber ist (0 | 0) ein Extrempunkt? Was zeigt f′ links und rechts von 0, was zeigt f″(0)?
- Funktion 4: Rechnen Sie die vier Schritte zuerst selbst im Heft. Decken Sie dann Schritt für Schritt auf und vergleichen Sie.
- Funktion 5: Warum liefert Schritt 2 keinen Kandidaten? Was heißt das für den Graphen von f?
Was Sie einstellen, bleibt auf Ihrem Gerät; es wird nichts gespeichert oder gesendet.